基于曲柄弹簧机构的零刚度柔性铰链研究

摘要：零刚度柔性铰链的转动刚度近似为零，克服了普通柔性铰链需要驱动力矩的缺陷，可应用于柔性夹持器等领域。以纯 扭矩作用下的内外环柔性铰链为正刚度子系统，研究负刚度机构并匹配正负刚度，可构造零刚度柔性铰链。提出一种负刚度转动机构——曲柄弹簧机构，建模分析了其负刚度特性；通过匹配正负刚度，分析了曲柄弹簧机构的结构参数对零刚度品质 的影响；提出一种可定制刚度和尺寸的线性弹簧——菱形片簧串，建立其刚度模型并进行了有限元仿真验证；最终，完成了 一种结构紧凑的零刚度柔性铰链样件的设计、加工和测试。测试结果表明：纯扭矩作用下，±18°转角范围内，零刚度柔性铰链的转动刚度比内外环柔性铰链平均降低了93%。所构造的零刚度柔性铰链结构紧凑，零刚度品质高；所提出的负刚度转动 机构和可定制刚度的线性弹簧对柔性机构的研究具有较大的参考价值。

0 前言

柔性铰链(轴承)^[1-2]依靠柔性单元的弹性变形 传递或转化运动、力和能量，已广泛应用于精密定位等领域。与传统刚性轴承相比，柔性铰链转动时存在恢复力矩，因此，驱动单元需要提供输出力矩 以驱动并保持柔性铰链的转动。零刚度柔性铰链 ^[3](Zero stiffness flexural pivot, ZSFP)是一种转动刚 度近似为零的柔性转动关节。这类柔性铰链可停留 在行程范围内的任意位置，也称为静平衡柔性铰链 ^[4]，多应用于柔性夹持器等领域。

基于柔性机构模块化的设计理念，可将整个零刚度柔性铰链系统分为正负刚度两个子系统，通过 正负刚度的匹配实现零刚度系统^[5]。其中，正刚度子系统通常为大行程柔性铰链，如交叉簧片柔性铰链^[6-7]、广义三交叉簧片柔性铰链^[8-9]和内外环柔性 铰链^[10-11]等。目前，柔性铰链的研究已取得了较多成果，因此，设计零刚度柔性铰链的关键在于：为柔性铰链匹配合适的负刚度模块[3]。

内外环柔性铰链(Inner and outer ring flexural pivots, IORFP)在刚度、精度和温漂等方面特性优 良，三维模型如图4。以纯扭矩作用下的内外环柔性铰链为正刚度子系统，通过研究相匹配的负刚度 模块，给出零刚度柔性铰链的构造方法，最终，完成零刚度柔性铰链的设计、样件加工和测试。

1 曲柄弹簧机构

1.1 负刚度的定义

刚度K 的一般定义是弹性元件所承受的载荷F与对应变形dx的变化率
K= dF/dx (1)
当弹性元件所受载荷增量与对应的变形增量符号相反时，即为负刚度。物理上，负刚度对应弹性元件的静力不稳定^[12]。负刚度机构在柔性静平衡领域有着重要的作用。通常，负刚度机构具有以下特点。

(1) 机构储备了一定能量或发生了一定形变。

(2) 机构处于临界失稳状态。

(3) 机构受到微小扰动离开平衡位置时，可释放出较大的力，并与运动方向相同。

1.2 零刚度柔性铰链的构造原理

利用正负刚度匹配可构造零刚度柔性铰链，原理如图2 所示。

(1) 纯扭矩作用下，内外环柔性铰链具有近似线性的扭矩-转角关系，如图2a所示。特别地，当 交叉点位于簧片长度的12.73%时，其扭矩-转角关系为线性^[11]，此时，柔性铰链的恢复力矩Mpivot(顺时针方向)与轴承转角θ(逆时针方向)关系为
Mpivot=（8EI/L）θ (2)
式中，E 为材料弹性模量，L为簧片长度，I 为截面惯性矩。

(2) 根据内外环柔性铰链的转动刚度模型，匹配负刚度转动机构，其负刚度特性如图2b所示。

(3) 鉴于负刚度机构的不稳定性^[12]，零刚度柔性铰链的刚度应近似为零且大于零，如图2c所示。

1.3 曲柄弹簧机构的定义

由文献[4]，在柔性铰链的运动刚体和固定刚体之间引入预变形弹簧，可以构造零刚度柔性铰链。 对于图1所示的内外环柔性铰链，在内环和外环之间引入弹簧，即引入曲柄弹簧机构(Spring-crank mechanisms, SCM)。参照图3 所示的曲柄滑块机构， 曲柄弹簧机构相关参数如图4所示。曲柄弹簧机构由曲柄和弹簧(设刚度为K)构成，初始角β为弹簧未变形时，曲柄AB 和基座AC之间的夹角；r表示曲柄长度，l表示基座长度，定义曲柄长度比ξ为r 与l的比值，即ξ=r/l(0<ξ<1)。

构造曲柄弹簧机构需要确定4个参数：基座长度l，曲柄长度比ξ，初始角β 和弹簧刚度K。

曲柄弹簧机构受力变形如图5a所示，在力矩M_γ作用下，曲柄由初始位置AB_β转动至AB_γ，转动过程中，曲柄相对水平位置的夹角_γ 称为曲柄转角。

定性分析可得：曲柄从ABβ转动(初始位置，Mγ 为零)至AB0(“死点”位置，M_γ为零)的过程中，曲柄弹簧机构存在一段具有负刚度特性的变形。

1.4 曲柄弹簧机构的力矩与转角关系

图5 中，取力矩Mγ顺时针为正，曲柄转角γ逆时针为正，下面建模分析力矩载荷M_γ与曲柄转角_γ 之间的关系，建模过程是有量纲的。

如图5b 所示，对曲柄ABγ列力矩平衡方程

式中，Fγ为弹簧恢复力，dγ为Fγ 对A点力臂。 假设弹簧的位移载荷关系为

式中，K为弹簧刚度(不一定为常值)，Δ_xγ 为弹簧变 形量(缩短为正)，Δ_xγ=|B_βC| – |B_γC|。

联立式(3)～(5)，力矩M_γ 与转角_γ的关系为

1.5 曲柄弹簧机构的负刚度特性分析

为便于分析曲柄弹簧机构的负刚度特性(力矩 M_γ 与转角_γ 的关系)，不妨假设弹簧具有线性正刚 度，则式(4)可改写为

式中，Kconst 为大于零的常量。 柔性铰链尺寸确定后，基座长度l也随之确定， 因此，假设l 为常量。则式(6)可改写为

式中，Kconstl2 为大于零的常量，力矩系数mγ 的量纲 为一。分析力矩系数mγ与转角γ的关系即可得到曲 柄弹簧机构的负刚度特性。

由式(9)，图6 为初始角β=π 时，mγ 与曲柄长度比ξ和转角γ 的关系，ξ∈[0.1, 0.9]，γ∈[0, π]。图7为ξ=0.2 时，不同β 下，mγ 与转角γ 的关系。图8 为β=π 时，不同ξ 下，mγ 与转角γ 的关系。

根据曲柄弹簧机构的定义(第1.3 节)和式(9)， 当K和l为常量时，mγ 仅与转角γ、曲柄长度比ξ和曲柄初始角β 有关。

(1) 当且仅当γ 等于0 或π 或β，mγ等于零；γ ∈[0, β]，mγ 大于零；γ∈[β，π]，mγ 小于零。 ∈[0, β]，mγ 大于零；γ∈[β，π]，mγ 小于零。

(2) γ∈[0, β]时，转角γ 增大，mγ从零先增大， 至拐点角度γ0处取最大值mγmax，后又逐渐减小。

(3)曲柄弹簧机构的负刚度特性范围：γ∈[0, γ0]， 此时γ 增大(逆时针方向)，力矩Mγ增大(顺时针方 向)。拐点角度γ0 为曲柄弹簧机构负刚度特性最大转 角且γ0∈[0, β]；mγmax 为最大负力矩系数。给定β 和ξ，对式(9)求导，可得γ0

(4) 初始角β越大，γ0 越大，m_γmax 越大。

(5) 长度比ξ越大，γ0 越小，m_γmax 越大。

特别地，β=π时，曲柄弹簧机构负刚度特性最佳(负刚度转角范围大，能提供的力矩大)。β=π时，不同ξ条件下，曲柄弹簧机构负刚度特性最大 转角γ0及最大负力矩系数mγmax 列于表1。

表1 初始角为π 时，不同曲柄长度比ξ 条件下的负刚度最大转角γ0和最大力矩系数m_γmax

参数	数值
曲柄长度比 ξ	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
最大转角 γ0/rad	0.98	0.91	0.84	0.76	0.68
最大力矩系数mγmax	0.013	0.055	0.13	0.23	0.37

 

2 零刚度柔性铰链的构造

2.1 正负刚度的匹配如图9所示，n(n≥2)组并联的曲柄弹簧机构圆 周均布，构成与内外环柔性铰链匹配的负刚度机构。

以内外环柔性铰链为正刚度子系统，构造零刚度柔性铰链。为实现零刚度，匹配正负刚度

联立式(2)、(3)、(6)、(11)，且γ=θ，可得弹簧的载荷Fγ 与位移Δxγ 的关系为

由第1.5 节，曲柄弹簧机构的负刚度转角范围： γ∈[0, γ0]且γ0∈[0, β]，则零刚度柔性铰链的行程应小于γ0，即弹簧始终处于变形状态(Δxγ≠0)。 内外环柔性铰链的转动范围为±0.35 rad(±20°)， 对三角函数sinγ 和cosγ 做如下简化

简化后，弹簧的载荷-位移关系

2.2 正负刚度匹配模型的误差分析

评估式(13)的简化处理所造成的误差。根据零刚度柔性铰链实际加工参数(第4.2 节)：n=3，l=40 mm，β=π，ξ=0.2，E=73 GPa；内外环柔性铰链簧片尺寸L=46 mm，T=0.3mm，W=9.4mm；对比式 (12)、(14)，简化前后弹簧的载荷位移关系和相对误 差分别如图10a、10b所示。

如图10 所示，γ 小于0.35 rad(20°)时，简化处 理对载荷位移曲线造成的相对误差不超过2.0%，式

(13)的简化处理可以用于构造零刚度柔性铰链。

2.3 弹簧的刚度特性

设弹簧的刚度为K，联立式(3)、(6)、(14)

根据零刚度柔性铰链实际加工参数(第4.2 节)，弹簧刚度K 随转角γ的变化曲线如图11所示。 特别地，当γ=0时，K 取得极小值。

为便于设计和加工，弹簧采用线性正刚度弹簧，刚度为Kconst。整个行程内，零刚度柔性铰链的总刚度大于等于零，则Kconst 应取K 的极小值

式(16)即为构造零刚度柔性铰链时，线性正刚度弹簧的刚度取值。 2.4零刚度品质的分析 所构造的零刚度柔性铰链载荷位移关系为

联立式(2)，(8)、(16)可得

为评价零刚度的品质，定义添加负刚度模块前后柔性铰链刚度的降低幅度为零刚度品质系数η

η 越接近100%，零刚度品质越高。图12为1-η 与 曲柄长度比ξ 和初始角β 的关系。η 与曲柄弹簧机构并联数n以及基座长度l 无关，仅与曲柄长度比ξ、转角γ 以及初始角β 相关。

(1) 初始角β 增大，零刚度品质提高。

(2) 长度比ξ 增大，零刚度品质降低。

(3) 转角γ 增大，零刚度品质降低。

为提高零刚度柔性铰链的零刚度品质，初始角β应取较大的值；曲柄长度比ξ则应尽量小。同时根据第1.5 节的分析结果，ξ 过小，将导致曲柄弹簧机构提供负刚度的能力较弱。为提高零刚度柔性铰 链的零刚度品质，选定：初始角β=π，曲柄长度比 ξ=0.2，即第4.2 节零刚度柔性铰链的实际加工参数。

根据零刚度柔性铰链的实际加工参数(第4.2 节)，内外环柔性铰链和零刚度柔性铰链扭矩-转角 关系如图13所示；刚度降幅即零刚度品质系数η与转角γ关系如图14所示。由图14：在0.35 rad(20°) 转动范围内，零刚度柔性铰链的刚度平均降低了 97%；0.26 rad(15°)转角时，降低了95%。

3 线性正刚度弹簧的设计

构造零刚度柔性铰链通常是在柔性铰链尺寸和刚度确定后，再反解出曲柄弹簧机构中弹簧的刚度， 因此对弹簧的刚度和尺寸要求都比较严格。另外， 初始角β=π，由图5a，零刚度柔性铰链转动过程中， 弹簧一直处于压缩状态，即为“压簧”。

传统压簧的刚度和尺寸难以精确定制，且应用时多需要导向机构。因此，提出一种刚度和尺寸可 以定制的弹簧——菱形片簧串。菱形片簧串(图15) 由多个菱形片簧串联构成，具有结构设计自由，定 制度高等特性，其加工工艺与柔性铰链一致，均采 用精密线切割加工。

3.1 菱形片簧串的载荷-位移模型

由菱形片簧的对称性，只需对一根簧片进行受 力分析，如图16所示。 α 为簧片与水平之间的夹角，簧片的长宽厚分别为Ld、Wd、Td，f 为菱形片 簧所受的量纲一化载荷，δy 为菱形片簧在y 方向的 变形量，力fy 和力矩m 为等效在单个簧片末端上的载荷，fv 和fw 为fy 在wov 坐标系下的分力。

根据AWTAR[13]的梁变形理论，单簧片量纲一化的载荷位移关系式

由于刚体对簧片的约束关系，簧片在变形前后 末端转角为零，即θ = 0。联立式(20)～(22)

式(23)为菱形片簧的载荷-位移量纲一化模型。 n2 个菱形片簧串联，其载荷-位移模型为

由式(24)，当αd 较小时，典型尺寸和典型载荷 下，菱形片簧串的刚度近似为线性刚度。

3.2 模型的有限元仿真验证

对菱形片簧的载荷-位移模型进行有限元仿真 验证。利用ANSYS Mechanical APDL 15.0，仿真参 数如表2 所示，对菱形片簧施加8 N 的压力。

表2 菱形片簧串有限元仿真参数

参数	数值
材料	AL7075-T6
簧片长度Ld/mm	18
簧片宽度Wd/mm	10
簧片厚度Td/mm	0.25
簧片倾斜角α/°	10/20/30/40
弹性模量E/GPa	73

 

菱形片簧载荷位移关系的模型结果和仿真结果 对比如图17 所示(量纲一化)。对四种不同倾斜角的 菱形片簧，模型与有限元仿真的结果相对误差不超 过1.5%，式(24)模型的有效性和准确性得到验证。

4 零刚度柔性铰链的设计与试验

4.1 零刚度柔性铰链参数设计

设计零刚度柔性铰链，首先应根据使用条件确 定柔性铰链的设计参数，然后反算出曲柄弹簧机构 的相关参数。

4.1.1 柔性铰链参数

内外环柔性铰链交叉点位于簧片长度的 12.73%，其参数如表3 所示，代入式(2)，内外环柔 性铰链的扭矩转角关系为

表3 内外环柔性铰链结构参数及材料属性

参数	数值
材料	AL7075-T6
簧片长度L/mm	46
簧片宽度W/mm	9.4
簧片厚度T/mm	0.30
弹性模量E/GPa	73

 

4.1.2 负刚度机构参数

如图18 所示，取曲柄弹簧机构并联数目n 为3， 由柔性铰链的尺寸确定机座长度l=40 mm，根据第 2.4 节的结论，初始角β=π，曲柄长度比ξ=0.2。根 据式(16)反解出弹簧(即菱形片簧串)的刚度为 Kconst =558.81 N/m (26)

4.1.3 菱形片簧串参数

由l=40 mm，β=π，ξ=0.2，弹簧原长48 mm， 最大变形量(γ=0)为16 mm。由于结构限制，单个菱 形片簧难以产生这么大的变形，采用4 个菱形片簧 串联(n2=4)，则单个菱形片簧的刚度为
Kd=4Kconst=2235.2 N/m (27)
根据负刚度机构的尺寸(图18)，给定菱形片簧 的簧片长、宽和簧片倾斜角，由式(23)和菱形片簧 的刚度式(27)，可以反解出簧片厚度。菱形片簧结 构参数列于表4。

表4

综上，基于曲柄弹簧机构的零刚度柔性铰链的 参数已全部确定，如表3和表4所示。

4.2 零刚度柔性铰链样件的设计与加工 参照文献[8]对柔性铰链的加工测试方法，零刚度柔性铰链由负刚度机构和内外环柔性铰链并联而成，结构设计如图19。

内外环柔性铰链和菱形片簧串均采用精密线切 割机床加工，内外环柔性铰链采用分层加工并装配而成，图20为三组菱形片簧串实物图，图21为装 配完成的零刚度柔性铰链样件实物图。

4.3 零刚度柔性铰链的转动刚度测试平台 参照文献[8]的转动刚度测试方法，搭建零刚度 柔性铰链的转动刚度测试平台，如图22 所示。

4.4 试验数据处理及误差分析

利用测试平台对内外环柔性铰链和零刚度柔性铰链的转动刚度进行测试，测试结果如图23 所示。 根据式(19)计算并绘制零刚度柔性铰链的零刚度品 质曲线，如图24 所示。

测试结果表明：零刚度柔性铰链的转动刚度接近于零，相较于内外环柔性铰链，零刚度柔性铰链 在转角±0.31 rad(18°) 刚度平均降低了93%； 0.26 rad (15°) 时，刚度降低了90%。

如图23、24 所示，零刚度品质的测试结果和理论模型结果仍有一定差距(相对误差小于15%)， 造成误差的主要原因如下。

(1) 三角函数的简化处理造成的模型误差。

(2) 摩擦。菱形片簧串和安装轴之间存在摩擦。

(3) 加工误差。簧片实际尺寸存在误差等。

(4) 装配误差。菱形片簧串安装孔和转轴之间的间隙，试验平台装置的安装间隙等。

4.5 与典型零刚度柔性铰链的性能对比文献[4]中利用交叉簧片柔性铰链(Cross-axis flexural pivot, CAFP) 构造零刚度柔性铰链 ZSFP_CAFP 如图25 所示。

对比利用内外环柔性铰链所构造的零刚度柔 性铰链ZSFP_IORFP(图21)与ZSFP_CAFP(图25)

(1) ZSFP_IORFP，结构更加紧凑。

(2) ZSFP_IORFP 转角范围较小。转角范围受限 于柔性铰链自身的转角范围；ZSFP_CAFP 转角范 围80°，ZSFP_IORFP 转角范围40°。

(3) ±18°的转角范围内，ZSFP_IORFP 零刚度品 质较高。ZSFP_CAFP 刚度平均降低87% ， ZSFP_IORFP 刚度平均降低93%。

5 结论

以纯扭矩作用下的内外环柔性铰链为正刚度 子系统，为构造零刚度柔性铰链，完成了以下工作。

(1) 提出一种负刚度转动机构——曲柄弹簧机 构，建立模型(式(6))分析了结构参数对其负刚度特 性的影响，给出了其负刚度特性的范围(表1)。

(2) 通过匹配正负刚度，得到曲柄弹簧机构中 的弹簧的刚度特性(式(16))，建立模型(式(19))分析 了曲柄弹簧机构结构参数对零刚度柔性铰链零刚度 品质的影响，理论上，在内外环柔性铰链的可用行 程内(±20°)，刚度平均降低幅度可达97%。

(3)提出一种可定制刚度的“弹簧”——菱形 片簧串，建立其刚度模型(式(23))并进行了有限元验 证。

(4) 完成了一种结构紧凑的零刚度柔性铰链样 件的设计、加工和测试。测试结果表明：纯扭矩作 用下，在36°转角范围内，与内外环柔性铰链相比， 零刚度柔性铰链的刚度平均降低了93%。

所构造的零刚度柔性铰链仅在纯扭矩作用下，可 实现“零刚度”，未考虑承受复杂载荷条件的情况。 因此，复杂载荷条件下零刚度柔性铰链的构造，是下 一步研究的重点。另外，降低零刚度柔性铰链运动时 存在的摩擦是零刚度柔性铰链的重要优化方向。

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作者简介：毕树生(通信作者)，男，1966年出生，博士，教授，博士研究生导师。主要研究方向为全柔性机构及仿生机器人。