柔性铰链、柔性体机构的设计优化理论依据研究

摘要:对直梁圆角形柔性铰链的柔度矩阵进行了研究。首先,基于悬臂梁理论推导了直梁圆角形柔性铰链平面内变形的解析计算方法,建立了柔性铰链平面内柔度矩阵的闭环解析模型,并给出了r/t(r为铰链圆角半径,t为铰链厚度)时柔度矩阵的简化计算公式。然后,建立了直梁圆角形柔性铰链的有限元模型,得到了柔性铰链结构参数r/t和l/t(l为铰链长度)变化时柔度矩阵解析值和有限元仿真值的相对误差,以及r/t变化时柔度矩阵简化解析值和仿真值的相对误差。结果表明:采用悬臂梁理论建立的柔性铰链柔度矩阵模型,当l/t≥4时,柔度矩阵各项参数的理论解析值与有限元仿真值相对误差在5.5%以内,当0.1≤r/t≤0.5时,两者的相对误差能够控制在9%以内,当0.2≤r/t≤0.3时,两者的相对误差能够控制在6.5%以内;当r/t≤0.3时,简化解析值与仿真值的相对误差控制在9%以内,当r/t≤0.2时,简化解析值与仿真值的相对误差控制在7%以内,从而验证了柔度矩阵闭环解析模型的正确性。建立的直梁圆角形柔性铰链柔度矩阵闭环解析模型可为柔性铰链以及柔性体机构的设计和优化提供理论依据。

引言

柔性铰链利用其自身的弹性变形而非刚性元件的运动来传递或转换运动、力或能量,相对于传统运动铰链,柔性铰链具有运动分辨率高、无摩擦、无需润滑、制造工艺简单等优点,已被广泛应用于投影光刻物镜、硅片工作台、电子扫描显微镜、空间光学遥感器[7飊8]等精密器件,以及精密和超精密加工等领域。柔性铰链的柔度是柔性铰链、柔顺机构的关键参数,直接关系到柔顺机构的动态特性及其末端的定位精度。国内外围绕柔性铰链的柔度开展了很多研究工作。Paros等推导了单轴和双轴圆弧形柔性铰链柔度的精确计算公式以及简化公式。吴鹰飞等给出了圆弧形柔性铰链柔度更为简洁的计算方法。Smith等给出了椭圆形柔性铰链的柔度矩阵计算方法,并通过有限元和实验的方法进行了验证。Lobontiu等[14]基于卡氏第二定理建立了直梁圆角形柔性铰链柔度的理论模型,并将其应用到平面运动放大机构中,但该理论模型没有考虑剪切力的影响。Hale[15]对直梁圆角形柔性铰链进行了分析,建立了其柔度矩阵的计算模型,但模型仅考虑了柔度矩阵对角线的元素。Xu等通过有限元方法对圆弧形、直梁圆角形和椭圆形柔性铰链的运动精度进行了分析。

基于上述研究现状,本文针对直梁圆角形柔性铰链的柔度矩阵进行了研究。

1直梁圆角形柔性铰链的柔度矩阵

直梁圆角形柔性铰链如图1所示,铰链整体为直梁片状结构,铰链两端与基体接触处为避免应力集中采用圆角进行过渡。直梁圆角形柔性铰链的主要几何参数包括铰链高度h、铰链长度l、铰链厚度t和铰链圆角半径r。

直梁圆角形柔性铰链的模型如图2所示,将柔性铰链的右端固定,将输入力和力矩作用在柔性铰链的左端,定义x轴正方向为柔性铰链固定端指向自由端,y轴为垂直于直梁薄片平面方向,坐标系遵循右手定则。图中0-1段和3-4段为圆角部分,1-3段为直梁部分。柔性铰链为厚度t随着x变化的变截面梁,其函数表达式为

2 直梁圆角形柔性铰链柔度矩阵的有限元验证

为了验证推导得到的直梁圆角形柔性铰链的柔度矩阵闭环解析式,采用UGNXNASTRAN软件对直梁圆角形柔性铰链进行了有限元建模仿真和分析。

直梁圆角形柔性铰链的有限元模型如图3所示。柔性铰链的材料为铟钢,其弹性模量E=141GPa,泊松比v=0.259。建模时将柔性铰链的右端完全约束,在左侧的直梁自由端点4处施加单位力Fx、Fy和单位力矩Mz。

图4所示为直梁圆角形柔性铰链加载单位力/力矩时的仿真分析结果。为了分析直梁圆角形柔性铰链各结构参数对柔度矩阵的影响,分别分析了比值l/t和r/t变化时,柔度矩阵各参数的解析值和仿真值的相对误差,同时也分析了比值r/t变化时简化解析值与仿真值的相对误差。

数的影响,分别取l/t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,并固定r=0.3mm,h=11mm,对柔度矩阵各项参数的解析值与仿真值进行了分析,得到的数据如表1所示。

将表1的数据转化成图5所示的点图形式。由图5可知:柔度矩阵参数cx,Fx、cy,Mz、cQz,Mz的解析值与仿真值相对误差随比值l/t的变化很小,而cy,Fy和cQz,Fy的解析值与仿真值相对误差的绝对值则随比值l/t的增大而减小。当l/t曒4时,柔度矩阵的上述各项系数,理论解析值与有限元仿真值的相对误差均能够控制在5.5%以内。当比值l/t<4时,由于悬臂梁不能简化为细长梁,柔度矩阵参数cy,Fy和cQz,Fy理论值与有限元仿真值之间的相对误差比较大。因此上述直梁圆角形柔性铰链的柔度闭环解析模式,适用于l/t较大的情况。

2.2比值r/t对柔度矩阵各参数的影响

为了分析比值r/t对柔度矩阵解析式各项参数的影响,分别取r/t=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,并固定l=4mm,h=11mm对柔性铰链进行了分析,得到柔度矩阵各项参数的解析值与仿真值,如表2所示。

将表2的数据转化成图6所示的点图形式。由图6可知:柔度矩阵参数cy,Mz、cQz,Fy的解析值与仿真值相对误差的绝对值随比值r/t的增大而增大;柔度矩阵参数cy,Fy、cQz,Mz的解析值与仿真值相对误差的绝对值随着比值r/t的增大而减小;柔度矩阵参数cx,Fx解析值与仿真值相对误差的绝对值随着比值r/t的增大先减小后增大。当r/t≤0.5时,上述柔度矩阵各参数的解析值与有限元仿真值相对误差能够控制在9%以内,当0.2≤r/t≤0.3时,相对误差能够控制在6.5%以内。

2.3暋比值r/t对柔度矩阵简化值各参数的影响柔度矩阵各项参数的推导过程中,给出了r烆t时各项参数的简化解析公式,为了说明给出的简化解析公式的适用范围,分别取r/t=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,并固定l=4mm,h=11mm对柔性铰链进行了分析。得到柔度矩阵各项参数的简化解析值与仿真值,如表3所示。

将表3的数据转化成图7所示的点图形式,可知柔度矩阵各项参数的简化解析值与仿真值相对误差随着比值r/t的增大而增大,当r/t≤0.3时,解析值与有限元仿真分析结果的相对误差能够控制在9%以内,当r/t≤0.2,两者相对误差均能够控制在7%以内。

3 结语

本文建立的直梁圆角形柔性铰链柔度矩阵闭环解析模型,可为柔性铰链以及柔性体机构的设计优化提供理论依据。