四种复合型柔性铰链的弯曲、拉伸及压缩刚度分析与应用

概要：以材料力学和微积分的相关知识为基础, 推导了四种复合型柔性铰链的弯曲刚度和拉伸、压 缩刚度计算公式。以倒圆角直梁型柔性铰链为例, 基于有限单元法验证所推导刚度计算公式的正确性。采用解析法对四种复合型柔性铰链的刚度性能进行对比分析。结果表明, 椭圆直梁复合型柔性铰链的弯曲刚度和拉伸刚度最小; 分别将其应用于柔性T型联结节结构中, 采用有限单元法对各柔性T型联结节的刚度性能进行对比分析, 结果表明, 由椭圆直梁复合型柔性铰链构成的柔性T型联结节的变形补偿能力最强。

引言

柔性铰链常用于各种要求小角位移、高精度转动等场合, 工作时可消除传动过程中的空程和机械摩擦。按照结构型式, 柔性铰链可分为, 直梁型、圆弧型、椭圆型、倒圆角直梁型、抛物线型和双曲线型。刚度是柔性铰链最主要的性能指标之一, 直接反 映了其抵抗外载的能力和运动副的柔性程度。Paros J M 和Weisbord L 于1965年推导出圆弧型柔性铰链的刚度计算公式, 但该公式形式较复杂, 使用不便。文献利用力学基本公式推导出比文献给出的刚度计算公式更为简洁的表达式。由于柔性铰链实际结构的几何尺寸不能完全满足理论分析的假设条件, 为此许多文献采用有限单元法对柔性铰链的刚度性能进行研究。

根据实际需要, 作者在倒圆角直梁型柔性铰链的 基础上, 提出三种新型复合型柔性铰链: 椭圆直梁复合型、抛物线直梁复合型和双曲线直梁复合型柔性铰链。 本文中推导出四种复合型柔性铰链的刚度计算公式, 并对该四种柔性铰链的刚度性能进行对比分析; 分别 将其应用于柔性T型联结节结构中, 采用有限单元法 对各柔性T型联结节的刚度性能进行对比分析。

1 刚度计算公式的建立

1.1 倒圆角直梁型和椭圆直梁复合型柔性铰链刚度计算公式

倒圆角直梁型和椭圆直梁复合型柔性铰链分别由圆弧型或椭圆型与直梁型柔性铰链复合而成。其杆部截面均为矩形, 两铰链分别由4个垂直于端面的圆柱面或椭圆面与两个矩形块对称切割而成。

如图1所示为两种复合型柔性铰链的受力分析图, 分析该图可以看出: 力矩M_z使该两种复合型柔性铰链产生H角度的微小角位移, 力F_x使其产生沿轴的微小线位移&₁。

根据材料力学弯曲变形和高等数学微积分的相关知识, 可推导出该两种复合型柔性铰链的弯曲刚度和拉伸/压缩刚度计算公式。

倒圆角直梁型和椭圆直梁复合型柔性铰链的弯曲刚度计算公式分别为




 

1. 2 抛物线和双曲线直梁复合型柔性铰链刚度计算公式

抛物线和双曲线直梁复合型柔性铰链分别由抛物线或双曲线型与直梁型柔性铰链复合而成。其杆部截面均为矩形, 两铰链分别由4个垂直于端面的抛物面或双曲面与两个矩形块对称切割而成。

如图2 所示为两种复合型柔性铰链的受力分析图, 分析该图可以看出: 转动力矩使该两种复合型柔性铰链产生角度的微小角位移; 拉伸或压缩力使其产生沿轴的微小线位移$l。

根据卡氏第二定理, 可推导出抛物线和双曲线直梁复合型柔性铰链的弯曲刚度计算公式分别为

同理, 可得出抛物线和双曲线直梁复合型柔性铰 链的拉伸/ 压缩刚度计算公式分别为

以上各式中, b为宽度,mm; t为铰链最小半厚度, mm; c为铰链切割深度, mm; L₁为抛物线或双曲线部分长度, mm; L₂为直梁部分长度, mm。

2 验证刚度计算公式的正确性

以倒圆角直梁型柔性铰链为例, 基于有限单元法对所推导的刚度计算公式进行验证。如表1所示为倒圆角直梁型柔性铰链的三组结构参数。由于实体单元只有移动自由度, 不便于力矩的施加, 因此采用横截面可连续变化的梁单元建立柔性铰链的有限元模型。在左端固结, 右端分别承受弯曲力矩或拉伸/压缩力的边界条件下, 得出各倒圆角直梁型柔性铰链的弯曲刚度和拉伸/压缩刚度计算结果如表2和表3所示。

 

表1 三组倒圆角直梁型柔性铰链结构参数

序号	b/mm	t/mm	R/mm	L/mm
1	0.3	0.2	0.4	0.5
2	0.8	0.6	1.2	1.0
3	1.6	1.2	2.4	2.5

表2 弯曲刚度计算结果

序号	解析解/ ( N.m/rad)	有限元解/ ( N.m/ rad)	相对误差
1	0. 109 9	0. 109 866	0. 030 9%
2	0. 662 2	0. 662 251 7	0. 007 8%
3	28. 900	28. 902	0. 006 9%

表3 拉伸/ 压缩刚度计算结果

序号	解析解/ ( N/ m)	有限元解/ (N/m)	相对误差
1	2. 8444 × 107	2. 8409× 107	0. 1230%
2	2. 9008 × 107	2. 8986× 107	0. 0758%
3	2. 8357  × 108	2. 8329×108	0. 0987%

分析以上计算结果可以看出, 两种计算方法的相对误差小于0. 2% , 证明本文中所推导的倒圆角直梁 型柔性铰链的刚度计算公式是正确的。

3 分析四种复合型柔性铰链刚度大小

椭圆直梁复合型、抛物线直梁复合型和双曲线直梁复合型柔性铰链是在倒圆角直梁型柔性铰链的基础上, 提出的三种新型复合型柔性铰链。为对四种复合型柔性铰链的刚度性能对比分析, 保持其主要结构参数( 即直梁部分长度、总长度、铰链宽度和最小厚度) 分别相同, 基于所推导的刚度计算公式分别计算各复合型柔性铰链的弯曲刚度和拉伸刚度, 并将计算结果列于表4和表5。

 

表4 四种复合型柔性铰链的弯曲刚度对比

序号	弯曲刚度/ ( N.m/ rad)
	椭圆直梁 复合型	倒圆角直梁 复合型	抛物线直梁 复合型	双曲线直梁 复合型
1	0. 0066	0. 0069	0. 0520	0. 0571
2	0. 1974	0. 2138	1. 5543	1. 7407
3	1. 4179	1. 4890	11. 2027	12. 4540

 

表5 四种复合型柔性铰链的拉伸刚度对比

序号	拉伸刚度/ (N/m)
	椭圆直梁 复合型	倒圆角直梁 复合型	抛物线直梁 复合型	双曲线直梁 复合型
1	6. 2258 ×106	6. 4879 × 106	1. 21990 ×107	1. 2956 × 107
2	1. 9679 × 107	2. 1105 ×107	3. 83840 × 107	4. 0982 × 107
3	3. 6347 × 107	3. 8029 ×107	7. 10840 × 107	7. 5929 × 107

分析表4和表5可以看出: 与其他的柔性铰链相比, 在同样的尺寸规格条件下, 椭圆直梁复合型柔性铰链的刚度最小, 即变形补偿能力最强。

4 应用实例

如图3所示的柔性T型联结节是一种新型的柔性连接与传动结构, 其主要利用柔性铰链实现承担轴向拉压的同时吸收弯曲和扭转。此处的柔 性铰链可以采用倒圆角直梁型、椭圆直梁复合型、抛物线直梁复合型及双曲线直梁复合型柔性铰链, 我们分别将以上4种复合型柔性铰链应用于该柔性T型联结节结构中, 并对其刚度性能进行研究。 取柔性T型联结节的主要结构尺寸为: 外径D_o= 112mm, 内径D_i= 82mm, 总长L_w = 216mm, 决定中间 环位置的参数L₃= 50mm; 为保持可比性, 使四种复合型柔性铰链的主要结构参数分别相同, 即直梁部分长度L2= 50mm, 总长度L_H= 70mm, 宽度b= 5mm, 最小厚度t= 6mm。

由于柔性T型联结节形状不规则, 因此采用四面体结构实体单元分别建立各柔性T型联结节的有限元模型。在左端固结, 右端分别承受1mm的拉伸线位移、0. 01rad的弯曲和扭转角位移的边界条件下, 通过有限元数值求解得出如表6所示的各柔性T型联结节的拉伸刚度、弯曲刚度和扭转刚度计算结果。可以看出, 由椭圆直梁复合型柔性铰链构成的柔性T型联结节的各刚度均小于同样尺寸规格的由其他类型柔性铰链构成的柔性T型联结节的各刚度, 说明在四种复合 型柔性铰链中, 由椭圆直梁复合型柔性铰链构成的柔性T型联结节的变形补偿能力最强。

 

表6 四种柔性T 型联结节刚度计算结果

类型	拉伸刚度 / (N/m)	弯曲刚度 / (N.m/rad)	扭转刚度 / (N.m/rad)
由倒圆角直梁型柔性铰链构成 柔性T型联结节	5340400	594. 22	9187. 3
由椭圆直梁复合型柔性铰链构 成柔性T型联结节	5326800	590. 85	9061. 3
由抛物线直梁复合型柔性铰链 构成柔性T型联结节	5410600	613. 03	9930. 1
由双曲线直梁复合型柔性铰链 构成柔性T型联结节	5457400	629. 82	10592. 0

5 结论

所研究的4 种复合型柔性铰链作为新型的连接与传动部件, 在微米级领域具有广阔的应用前景。通过本文的研究, 可以得出如下结论:

(1) 倒圆角直梁型柔性铰链各刚度解析解与有限元解吻合较好, 证明本文所推导的刚度计算公式是正确的。

( 2) 在同样的尺寸规格条件下, 与其他三种复合型柔性铰链相比, 椭圆直梁复合型柔性铰链的转动能力、对载荷的敏感性最优。

( 3) 在四种复合型柔性铰链中, 由椭圆直梁复合型柔性铰链构成的柔性T型联结节的运动能力、对载荷的敏感性最优。