3-UPS/S 并联转台球铰链的优化设计

1、引言

随着机床技术的发展，并联机床在航空航天和汽车工业等领域得到了不断的应用。但是，与传统的串联机床相比，并联机床仍存在很多问题。由于受铰链约束、杆长约束、支链干涉、奇异位形等因素影响，其有效工作空间受到很大限制，动平台的活动空间不 大，最大倾角通常在30°左右。这是影响其应用的一个重要原因。因此，在机床尺寸参数确定的情况下，铰链约束就成了限制其工作空间的关键因素。 球铰链分为普通球铰链和复合球铰链两种。复合球铰链具有运动范围大、间隙小、抗拉强度大、易保 证加工精度等优点。但复合球铰链的体积大，结构复杂、惯性大，当并联机床的体积重量较小时，普通球铰链仍是球铰链的不二之选。 目前，关于铰链座法线方向的选择，通常采用的方法是：“当杆长为0.5(Lmax+Lmin)，且上下平台上的坐标互相平行时，第i根杆的向量”作为铰链座法线。这种方法只是一种粗略的设计方法，在一定程度上可以减小最大转角，但得到的铰链座法线并不 是最优的铰链座法线，还有进一步优化的空间。关于球铰座法线方向的最优化设计还没有人进行过研究。赵云峰等[4]对3-UPS/S 并联机构进行了基于给定 工作空间的尺寸参数优化，但没有考虑优化铰链最大转角的问题。马运忠和张立杰等也都对球铰链进 行了相关的研究，但其研究都是针对复合球铰链而展开的。基于优化球铰链最大转角进行的机构参数的优化还很少有人涉及。 下面研究的球铰链是基于北京航空航天大学为某研究所研制的3-UPS/S 并联转台展开的。

2、 无量纲化模型及铰链法线优化

2.1 球铰链和并联转台介绍

普通球铰链（以下简称球铰链）由球头和球窝构成，球头在球窝内转动，有三个方向的转动自由度（图 1）。球铰链的转角用球铰链座的法线n 和与球头连接的支链向量l的夹角α 来表示。球铰链最大转角αmax 的大小受球铰链座法线方向n 的影响，同时也受并联 机构的结构参数和位姿参数的影响。

3-UPS/S 并联转台（图2）由静平台、动平台、 支链和立柱构成。其中3-UPS/S 的含义：3 是支链数 量；U 代表虎克铰；P代表移动副；S 代表球副。动平台通过4 个球铰链P1,P2,P3,OP 与支链和立柱连接； 静平台通过3 个虎克铰B1,B2,B3与支链相连，与中央立柱L固结；3 根支链内为移动副。转台动平台有进动和章动两个转动自由度，运动空间用ZXZ 欧拉角描述为：进动角ψ=±360°，章动角θ=54.07°，自旋角φ=γP-ψ。其中：γP为定值，定义为初始角度。并联 转台的大运动空间要求球铰链必须有大的偏转角，但过大的偏转角必然导致铰链的结构强度降低。所以， 优化并联转台的结构参数、位姿参数和铰链座的法线方向就显得非常重要。

2.2 转台球铰链的数学模型

在动平台P1P2P3 上建立动坐标系OP-XPYPZP（图 2），在静平台B1B2B3上建立静坐标系O-XYZ。静平台 半径为R，动平台半径为r，中央立柱的高度为h。转 台球铰链数学模型可以通过支链BiPi在动坐标系中的 位置矢量BiPi P 来描述。BiPi P 与球铰法线n0 的夹角即 为球铰链的转角α。 动坐标系OP-XPYPZP 到静坐标系O-XYZ 的旋转矩阵为：

注：c，s 分别为cos 和sin 的简写。 对支链Li(i=1,2,3)，OPPi 相对于动系OP-XPYPZP 的Xp 轴的夹角为γ Pi = (i −1)120°，OBi 相对于静坐标 系O-XYZ的X轴的夹角是γ Bi = (i − 1)120°。则：

2.3 球铰链模型的无量纲化

在上节中，转台的结构参数有r,R,h 三个。为了便于分析，通过无量纲化，将转台的结构参数减少至 2 个，会方便转台参数的优化设计。动平台半径r和立柱高度h可用R分别表示为r=krR 和h=khR，其中：kr=r/R，kh=h/R。 将（1）、（2）、（3）分别代入（4），有

2.4 球铰链法线的优化设计

考虑到转台运动的特点：动平台只有转动没有平 动。选择动静平台平行时的支链向量作为初定的铰链 座的法线向量nc。最优法线n0 由nc 经旋转得到。由 n0 到nc 的旋转可用变量ψn,θn 来表示。具体见图3。 以nc 的方向为Z 轴，建立坐标系OS-XYZ。X 先绕Z 轴旋转ψn 至X ′ ，nc 再绕X ′ 轴旋转θn 即可到达n0。 在OS-XYZ 中，nc S=[0,0,1]T，n0 相对于OS-XYZ 可表示为： 0S = 1 ⋅ S = 1 ⋅[0 0 1]T n T nc T 。 则n0 相对于动系可表示为： 0 0 P S r n = T ⋅ n 。 注： ( n , n ) ( , ,0) ψ θ = ψ θ T1 T ；坐标系OS-XYZ 相对 于动系是固定的，转换矩阵为Tr。 这样就把求最优铰链座法线的问题转变为求最优ψn,θn 的问题。采用的方法是二维搜索法。

以ψn,θn 作为搜索变量，在ψn∈[0°,360°] ， θn∈[0°,15°]的范围内搜索最优的铰链座法线。具体方法是：分别取一定的ψn,θn 值，求其在θ=54.07°， ψ∈[0°,360°]，γ=γ.空间内的最大夹角，并将其记录下来。使最大转角αmax 最小的ψn,θn值即为最优的铰链 座法线方向。搜索流程见图4。

最后输出αmax=min(αmax0)，与 αmax0=αmax 对应的ψn,θn 构成的法线为最优的 0 [ , , ]T ⋅ sψ nsθn −cψ nsθn cθn n = Tr 。 流程图中的增量, n , n Δψ Δψ Δθ 的取值会影响最优法线和相应最大转角的精度。理论上，增量取值越小越好，但取得太小，会增加不必要的运算量，浪费 时间。这里取1 , n 1 , n 0.05 Δψ = ° Δψ = ° Δθ = °。

3、最大转角与位姿参数的关系

转台动平台只有转动运动，工作空间包括进动角ψ，章动角θ，初始角γP。进动角ψ 的变化范围是0～ 360°全空间。这里只分析章动角θ，初始角γP与球铰链最大转角αmax 的关系。在前面球铰链法线的优化设计中，与最优球铰链法线n0 对应的最大转角αmax是最优的最大转角。下面进行的分析都是基于n0 和αmax 展开的。

3.1 与章动角θ的关系

球铰链的最大转角αmax 在章动角θ 取最大值时取得。所以计算给定运动空间下球铰的最大转角αmax，只要令章动角θ 取最大值，进动角ψ 从0～360°变化， 即可搜索出来。

参数[kr,kh,γP]取不同值[0.5,3,20°]，[0.75,2,30°]， [0.75,3,40°]，[0.75,4,50°]，[1,3,60°]时，计算不同的最大章动角θmax 对应的最优αmax，并做出两者之间的关 系曲线（图5）。

由图5看出，球铰链的最大夹角与章动角成正比关系。章动角θmax=54.07°时，球铰链的最大夹角在 55°～60°之间。

3.2 与初始角Pγ的关系

分别作出[kr,kh]取不同值[0.5,3] ， [0.75,2] ， [0.75,3]，[0.75,4]，[1,3]时，球铰最大转角αmax 与初始角γP的关系曲线，见图6。

在图6中可以看到：铰链的最大转角αmax随着初始角度γP的增大而减小。理论上，γP取得越大，越有利于减小铰链的αmax。

4、最大转角与结构参数的关系

在前面的分析中，球铰最大转角αmax 越小越好。转台的结构参数r,R 和h 都影响转台的最大夹角。所 以对转台的结构参数基于减小最大转角进行优化设计，就显得尤为重要。

在3.2 节的分析中，得知：γP取值越大，越有利于减小铰链的αmax。但考虑到初始角γP 越大，支链受 力性能越不好，也容易造成杆间产生干涉。最终选定初始角度γP=45°。 在2.3 节中，通过无量纲化将转台的三个结构参 数r，R，h 减小到两个kr,kh。作最大转角与kr,kh 的关系图（图7）。

从图7中可以看出，最大转角αmax 随着kr 的减小 而减小，随着kh 的增大而减小。

5、参数优化与运动空间的验证

5.1 转台参数的优化设计

转台的参数包括结构参数r,R,h，初始角度γP，和 球铰链法线。初始角度在前面已经选定为γP=45°。

5.1.1 转台结构参数的设计

由图7，选定kr=0.55，kh=3.75。考虑球铰链的尺 寸， 动平台半径取r=100mm ， 则静平台半径 R=r/kr=200mm，动平台高度h=khR=750mm。

5.1.2 球铰链的法线

5.1.1 的计算中，定转台的结构参数和初始角度： r=100mm，R=200mm，h=750mm，γP=45°。球铰链最 优法线的方向用2.3 节中方法进行搜索。 搜索得球铰1的最优铰链法线向量为 [0.0976,-0.1880,-0.9773]（相对于动系的坐标值）。转 化为球坐标：ψS=297.4°，θS=167.8°（图8）。

铰链2、 3和铰链1 关于动系的ZP 轴呈轴对称。

5.1.3 球铰链结构参数的设计球铰链的具体结构形式见图1。图中：d 是球头 杆的直径，R 是球头的半径，h 是球窝盖的厚度。θ 是球铰链的最大偏转角。图1中，θ=90°-θ1-θ2，其中： 1 1 1 sin , 2 sin 2 h d R R θ = − θ = − 。 取d=12，R=25，h=9，计算得θ ≈ 55°，符合要 求。

5.2 铰链夹角的验证

在5.1.2 节中得铰链1 的法线方向：[0.0976, -0.1880,-0.9773]。铰链2、3 和铰链1 关于动系的ZP 轴呈轴对称。

确定铰链的法线方向后，对其进行验证。取 r=100mm，R=200mm，h=750mm，γP=45°，θ=54.07° 铰链法线方向[0.0976,-0.1880,-0.9773]，作铰链夹角 随进动角n [0 ,360 ] ψ ∈ ° ° 的变化曲线（图9）。

从图9可以看出，铰链转角分布的比较均匀，在54°附近，最大夹角为54.89°<55°（设计的球铰链的最大夹角）。球铰链法线方向和结构参数的设计都符合要求。

5.3 运动空间的验证 验证当球铰链实现最大转角αmax=55°时，在各个进动角方向，章动角可以达到的最大角度，见图10。

图10 中横坐标是进动角ψ，纵坐标为章动角θ。 θ = 54.07°包含在最大空间的范围内，可以实现指定的工作空间。设计的球铰链法线方向和最大转角符合设计要求。