引言
柔性机构是一类利用材料的弹性变形传递运动、力或能量的新型机构,具有无摩擦、无间隙、易维护、分辨率高和可一体化 加工等诸多优点,被广泛应用于精密定位、MEMS加工、航空航天 等领域。与传统刚性机构相比,柔性机构动作过程中的弹性变形产生功能方向正刚度,需要较大的驱动力,对驱动器要求苛刻,且 降低了能量传递效率。凡此种种不足,一定程度上成为了其应用范围拓展的桎梏所在。为了克服柔性机构功能方向正刚度带来的不利影响,多位 学者将零刚度理念引入到柔性机构中,巧妙利用负刚度抵消正刚度的原理,得到刚度为零的机构,此种系统可在运动范围内任何一点获得静平衡状态,因此又被称作柔性静平衡机构。其突出优 点是:力传递性能好,驱动力小,能量传递效率高等。目前柔性静平衡机构的研究对象多集中于柔性微夹钳。而作为柔性机构基 本运动模块的柔性铰链,因其优异特性而被深入研究,其中广义交叉簧片型柔性铰链相对行程较大,具有更大的应用价值。基于此的零刚度柔性铰链首选为构建复杂柔性静平衡机构的基础,其研究具有重要意义。
以期实现零刚度特性,柔性铰链的扭转正刚度需用转动负刚度抵消。转动负刚度模型示意图,如图1所示。虚线为动平台初 始位置,弹簧为零长弹簧,由图2所示叶片弹簧来实现。叶片弹簧由两根重叠的簧片组成,一端固连,另一端自由,当开口端变形相对簧片长度较小时弹簧力学特性具有很好的线性度。为了便于推导,采用理想线性零长弹簧进行分析。
根据三角形正弦定理,两根弹簧对O 点的转矩分别为
M1 =karsinφ1 =karsin(θ+β) (1)
M2 =-karsinφ2 =karsin(θ-β) (2)
总转矩可表示为:
M=M1 +M2 =2karcosβsinθ (3)
式中:k—零长弹簧刚度系数;r , a—零长弹簧 上 下安装点距铰链O的距离(安装半径); β—弹簧安装角度;θ—动平台转过的角度。由公式(3),
当β<π/2时,弹簧对O点产生的力矩与转角方向相同,即对铰链O形成了转动的负刚度。
双平衡弹簧零刚度柔性铰链模型
为了建立准确的零刚度柔性铰链模型,首先需要对广义交叉簧片柔性铰链的力学特性进行分析,其受力及变形,如图3所示。根据文献,若不考虑切向力影响,铰链的无量纲扭转刚度可表示为:
Km=Am p+Bm(4)
其中,Am = 2(9λ2 -9λ+1)/15cosα +λcosα,
Bm =8(3λ2 -3λ+1) " 式中:Am—径向力对扭转刚度的影响权重;Bm—纯扭转载荷作用下的刚度。若Am为0,扭转刚度将不受径向力影响。
基于文献中正负刚度并联思想,将图1中O点转动副、两根平衡弹簧分别用柔性铰链和叶片弹簧替换可得零刚度柔性铰链的概念模型,如图4所示。
由于结构对称性,仅分析动平台逆时针转动情况。简单起见,两根平衡弹簧对动平台的力首先向O点简化,再由O点向E点简化。弹簧1对E点的转矩力为:
ME =2kasinθ(acosβ-λLcosαβ/2) (5)
FOx =2kacosβ/2 sinθ (6)
FOy =-4kacosβ/2 cos2θ/2(7)
公式(5)~(7)所得结果均为有量纲参数,将转矩和力无量纲化后可得铰链刚度为零的条件为:
MEL/EI -λcosα FOx L2 EI =Km θ (8)所需平衡弹簧的刚度:
k= KmEI/2aL (acosβ-2λcosαcos β /2 )-1(9)
为了验证上述理论模型的正确性,通过有限元软件Ansys中的大变形分析模块对零刚度柔性铰链力矩-转角特性进行仿真 分析,并与模型计算结果进行比较。所有铰链的簧片具有相同的参数和材料属性,如表1所示。平衡弹簧采用弹簧单元Combin14 来模拟,自由长度为0。
L/mm | b/mm | h/mm | E/MPa |
60 | 6 | 1 | 73000 |
以期全面验证模型,选择三种不同的铰链进行分析,其几何 参数,如表2所示。采用优化方法在Ansys 中仿真计算,渐进改变 平衡弹簧的刚度直至柔性铰链刚度降为0,可得平衡弹簧的有限元分析刚度KFEA,如表3 所示。
序号 | λ | α |
1 | 1/5 | 0.9985 |
2 | 1/3 | arccos√2/5 |
3 | 1/2 | 0.9553 |
序号 | K(N·mm/rad) | ktheo ( N/mm) | kFEA ( N/mm) | δ |
1 | 2530.67 | 0.3412 | 0.324 | 5.3% |
2 | 1622.22 | 0.2836 | 0.275 | 3.1% |
3 | 1216.67 | 0.2745 | 0.26 | 5.6% |
kFEA情况下的力学特性曲线,如图5所示。结果表明,平衡弹簧可以大大降低柔性铰链驱动力矩,在15°范围内平均降低99.6%、 99.3%、99.5%。将平衡弹簧刚度kFEA 与ktheo 进行对比,可以定义理论计算结果的误差:
δ= (ktheo -kFEA)/kFEA×100% (10)
根据图1可知,当β为0时,两个平衡弹簧始终重合,等价于仅有单根弹簧,弹簧对转动中心具有转动的负刚度。据此可得 单平衡弹簧零刚度柔性铰链模型,如图6所示。图中:E—动平台 与簧片交点的中点;O—动平台上与簧片初始交叉点的重合点 (即铰链转动中心)。AO 平行于y 轴,长为a;OE长为s。平衡弹簧 对E 点的转矩及力为:
对比分析公式(14),模型可同时适用于Am 为0 与不为0 的情况。选取两种铰链参数进行有限元分析,如表4 所示。其中平衡 弹簧采用Combin14 单元模拟,a 长度为50mm。仿真可以得到平衡弹簧刚度,如表5 所示。结果表明,不论径向力对铰链刚度有无 影响, kFEA 与理论刚度ktheo 之间的误差都非常小,充分证明了理论模型的正确性。
为了验证叶片弹簧作为平衡弹簧在零刚度柔性铰链中的可行性,进而采用叶片弹簧代替Combin14 单元建立了有限元模 型,如图7(b)所示。叶片弹簧簧片长度为100mm,厚度2mm,宽度分别为17.8mm、21.6mm。仿真结果,如图7 所示。
结论
利用转动负刚度抵消交叉簧片柔性铰链的转动正刚度,获得零刚度柔性铰链系统,可以大幅降低铰链的驱动力矩,改善力传递性能,提高能量利用效率。针对零刚度柔性铰链双平衡弹簧和单平衡弹簧模型进行了分析,分别得出两种不同平衡方式的静平衡条件,并利用有限元软件对理论结果进行了仿真验证。结果表明,双平衡弹簧方式仅适用于径向力不影响铰链刚度的情况,而单平衡弹簧模型则无此限制,适用范围更广,但其轴向空间紧凑性受到一定影响,结构设计需根据实际应用综合考虑。