平面铰链四杆机构的弹性动力学分析与研究

在传统的机构运动学和机构动力学研究中， 构件被假定为刚体， 即构件在外力和惯性力的作用下，产生的弹性变形被忽略不计。这是 由于早期的机构，其运转速度相对较低，惯性力影响不大，而且构件尺 寸一般也具有较大的裕度和足够的刚度。但是，在现代机械中，机构的 运动速度越来越快，机构的重量要求尽可能减轻，而机构的运动精度 要求却随着机械性能的提高而提高。在较轻巧的且变速运动的机构 中，其构件的柔性增大，惯性力增大，在此类机构的设计中，考虑弹性 变形或弹性位移对机构运动精度的影响有着重要的理论意义和实际 意义。

平面铰链四杆机构是机械中最主要的基本机构之一，又是其它多 杆机构的基础，其应用十分广泛。本文针对平面铰链四杆机构进行弹 性动力学的分析与研究。

建立平面铰链四杆机构的有限元模型

在分析机构的真实运动之前，首先假设：
（1）与采用刚性机构的运 动分析方法得到的机构名义运动的位移相比，由构件变形引起的弹性位移仍然很小；
（2）这种弹性位移不会影响机构的名义运动。依据这两个假设，我们可以把机构真实运动的位移看成是名义运动的位移和弹性位移的迭加。名义运动可用刚体机构的运动分析方法求出，弹性位移需用结构动力学方法求解。

机构处于运动循环中，因此其结构形状、相对位置、动负荷、动力特性等时刻处在变化中，采用“瞬时结构假定”，即机构在某一位置时，可将机构的形状和作用于其上的动载荷瞬时“冻结”起来，从而可将其 瞬时地看成是一个结构，并借用结构分析的有限元方法来求解。

对于图1 所示的四杆机构，我们用一维单元离散，单元节点号及 坐标如表1 所示。

从拉格朗日方程出发，得出系统运动方程的一般形式：
MU＋CU＋KU＝P－MU^r （1）
式中：M、C、K 分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵；U， U，U分别为广义坐标及其对时间的一阶、二阶导数列阵，它们均为未 知量；P 为广义力列阵； U^r 为刚体加速度列阵， 可由刚体运动分析求出。

机构在不同的位置有着不同的瞬时结构。因此矩阵M、C、K 都是机构位置的函数。因此方程（1）是一个二阶变系数常微分方程组。它可 利用实振型迭加法和机构连续运转的封闭解法来求解。 由于方程（1）的求解需要多次计算方程的特征值和特征向量，所 以比较费时，因此我们采用一种工程简化分析方法来代替它，即略去 方程（1）左边前两项，得：
KU=P-MU^r（2）
方程（2）是一变系数线性方程组，它的求解显然要快的多，但精度 相对就要低一些。实质上，方程（1）和方程（2）代表了两种不同概念的 处理方法，以方程（1）为基础的分析方法称为弹性动力分析，简称为 KED 分析，它的思想是将机构看成是一个振动系统，求其在外载荷和 惯性力激励下的响应。以方程（2）为基础的分析方法称为运动弹性静 力分析，简称为准静态分析，它的思想是将机构看成一个弹性系统，求 其在外力和惯性力作用下的静变形，文献已证明在一般工程条件 下，用准静态分析代替KED分析不会带来较大误差。

平面铰链四杆机构弹性动力分析算例

现以图1 所示的平面铰链四杆机构为例，首先用准静态分析法对 其进行弹性动力分析，然后再利用（2）式计算。设已知构件1、2、3、4 的 尺寸l1、l2、l3、l4 及主动件2 的方位角α2 和等角速度ω2， 现对该机构的 位置、速度及加速度进行分析。

位置分析

为了对该机构进行运动分析，首先建立直角坐标系，如图1 所示， 并将各构件以矢量形式表示出来，则可写出该机构各杆所构成的矢量 封闭方程为：

式（4）和（5）中的α3，α4均有两个解，可根据机构初始安装情况和 机构运动连续性来确定其确切值。

速度分析

将式（3）对时间t取一阶导数，可求得构件3的角速度ω3 为：

平面铰链四杆机构的力学分析

在图1 所示的机构中，设主动件2 的输入参数为α2；从动件4 的 输出参数为α4；各杆长度为：li(i=1,2,3,4)，MO 和MC 分别为输入力矩和 输出力矩；mi 和Ji 分别为各杆件的质量和绕通过杆件质心轴线的转动 惯量；ω2 为常量。 由虚位移原理， 可求得在输出力矩MC 不变的情况下的输入力矩 MO，即：

当机构的具体参数给定后， 可以通过上述公式求得广义力列阵 P，将其代入式KU=P-MU^r中，这时，式中K、P、M 及MU^r 均为已知，利用现有的结构有限元分析程序进行计算，即可得到从动件在任意转角 位置时，其上B点的弹性位移（即B点的广义坐标U），从而进一步可 求出由于机构的弹性变形所引起的从动件转角误差。

本文摘自《科技信息》，原创作者：赵竹青，编辑：李皓成